三角形

據說，第一位發明夏季大三角的人是著名童話繪本作家Hans Augusto Rey。(※1)在他一本1952年出版的非童話著作中，首次把織女(Vega)、牛郎(Altair)及天津四(Deneb)組合在一起。直至1954年，“summer triangle”這個字眼正式面世，書中如此描述道：

"Vega, Altair. And Deneb form the famous 'Summer triangle', with a right angle at Vega. All navigators know it. It is easy to find."

Find the Constellations by H.A. Rey

文中清晰指明直角就位於織女星，理所當然夏季大三角就是直角三角形了，隨便打開任何一本天文入門書籍你都不難遇到相關的敘述，但你有對此質疑過嗎？你現在再仔細看看你手邊夏季大三角的相片，你是否覺得相比起直角三角形它其實更像是等腰三角形呢？

要解決「直角派」與「等腰派」之爭，最簡單的方法就是動手計一次。按SIMBAD Astronomical Database上所載，織女、牛郎及天津四的資料經適當換算後分別如下：

考慮天球問題時，平日所學的平面幾何已經派不上用場，取而代之的是球面幾何。球面三角邊長d公式，及為端點的赤經赤緯：(※2)

球面三角夾角A公式，、、為套用上式後求得各邊邊長：(※3)

注意球面三角的邊長是以角度而非長度作單位，結果如下：

當然，我們不應期望夏季大三角會是完美的直角或等腰三角形。織女的夾角約82.1，而織女―牛郎及牛郎─天津四的邊長約為38.0°及34.2°；雖然夾角與邊長不應直接比較，但粗略地說，它們各自差不多是「完成度達九成的直角」以及「相似度達九成的等腰」。唔……難分軒輊。

不過，既然天文學身為其中一門最古老的科學，我們亦應該把眼光放遠一點，把恆星的自行(proper motion)也一併考慮。

恆星自行的計算過程較繁複，在此不累述，詳見參考資料。根據上表資料計算，雖然未有信史記載，可是我們的祖先有很大機會於約公元前20781年親眼見過一個真真正正的直角夏季大三角(雖然當時未有這個概念)！

不過「直角派」先不要開心得太早，因為根據同樣資料，「等腰派」只要守候多18000年左右，夏季大三角便會於約公元20117年變成等腰三角形。在時間上來說，我們現正見證著夏季大三角由直角三角形演變至等腰三角形的過渡階段。可以想像在未來數千年內，「直角派」與「等腰派」之爭會一直於天文愛好者間持續。

以下附送三角座三顆主星於SIMBAD Astronomical Database上所載的資料，讀者有興趣的話可以試試看到底號稱「最名副其實星座第一名」的三角座與三角尺有多相似：

霍啟東

天文科導師

※1：H.A. Rey為了讓小朋友更容易辨認星座，發明了一套更乎合直觀的星座連線方法，對後世天文普及有著深遠影響。有興趣的讀者可於網上找到更多有關他的星座繪本The Stars: A New Way to See Them的圖片。

※2：要注意在球面座標中，每條赤經線均為大圓(great circle)，而不同緯度的赤緯線則長短不一(位於極點的緯線長度為零)。相對於笛卡兒坐標系(Cartesian)中x,y坐標於特定條件下可任意交換，由於赤經、赤緯間的不可交換(non-commutative)特性，因此不可以直接套用勾股定理求邊長。

※3：按定義，球面三角形的內角為相鄰兩條測地線(geodesic)的夾角。應用於夏季大三角的例子，位於織女星的夾角相等於通過織女─牛郎─地心的平面VAO及通過織女─天津四─地心的平面VDO間的夾角。

參考資料：

夏季大三角歷史考據

Joe Rao. 2005. “Doorstep Astronomy: The Summer Triangle.” From SPACE.com.

http://www.space.com/1206-doorstep-astronomy-summer-triangle.html

恆星資料

http://simbad.u-strasbg.fr/simbad/sim-id?Ident=vega

http://simbad.u-strasbg.fr/simbad/sim-id?Ident=altair

http://simbad.u-strasbg.fr/simbad/sim-id?Ident=deneb

http://simbad.u-strasbg.fr/simbad/sim-id?Ident=alp+tri

http://simbad.u-strasbg.fr/simbad/sim-id?Ident=bet+tri

http://simbad.u-strasbg.fr/simbad/sim-id?Ident=gam+tri

球面三角公式

Weisstein, Eric W. "Spherical Trigonometry." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/SphericalTrigonometry.html

恆星自行計算

David Nash. 2006. “Calculating Precise Long Term Stellar Motions.” From The Astronomy Nexus.
http://www.astronexus.com/a-a/motions-long-term